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附录A 定量计算的复习
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结果。“惊奇”中应该包含两种要素，它们分别是实际收益对预期偏差的方向与幅度，
因为它们是对随机变量不确定性的测度。所以，了解偏差的概率分布有助于理解我们
现在所面临的非确定性。
我们用预期收益来测度回报。从直觉来看，我们可以对偏差取期望，并用期望来
测度该随机变量的非确定性。然而在前一节中，我们已经看到偏差的期望必为零：当
正的偏差被其概率加权后，正好能被负的偏差抵消。为解决这个问题，我们可以用偏
差的平方来代替偏差，这样我们能保证它必为一个正数（当d本身为负时也是如此）。
我们现在可以把方差定义为收益率对其预期偏差的平方的期望。它是我们“惊奇”
或随机变量散布性质的一个指标。若以希腊字母
2来记方差，那么其正式的定义公式
为：
2（r）＝E（d2）＝E＇ri …E（r） ＇2＝。P r （i） ＇ri …E（r） ＇2 （ A … 2 ）
公式中每一项偏差的平方消去了符号的差异，于是就避免了正偏差与负偏差之间
的抵消作用。
在安休瑟…布希公司股票的例子中，股票收益率的方差为：
2（r）＝0 。 2 （ 0 。 2…0 。 3 4 ）2＋0 。 5 （ 0 。 3…0 。 3 4 ）2…0 。 3 （ 0 。 5…0 。 3 4 ）2＝0。012 4
注意，如果你在随机变量之上加一个常数，其方差不会改变，这是因为此时式中
的期望值也变化了相同的常数，于是对预期的偏差没有改变。你可以利用表A … 1的数
字来验证这个结论。
然而，对随机变量乘以一个乘数以后，其方差将有所变化。设现在每个收益率都
乘以因子k，那么新的随机变量k r具有期望E（k r）=k E（r），因此k r的偏差为：
d （k r） =k r…E（k r） =kd （r）
如果每个偏差都乘以因子k，那么偏差的平方就相当于乘以k2，有
2（k r）＝k2 2（r）
总之，在随机变量上加一个常数并不会影响方差；但是当随机变量变化常数倍以
后，其方差的变化倍数就会是该常数的平方。
标准差：对方差的进一步研究发现，它的单位不同于期望收益。回想一下，为了
使所有偏差为正，我们利用了偏差的平方。这样就使方差的单位变成了“百分比平方”。
为了把方差单位重新转回至收益率百分比，我们就得到了方差的平方根。其实它就是
标准差，在安休瑟…布希公司股票的例子中，标准差即为：
= （
2）1 / 2＝（0。012 4）1 / 2＝0 。 111 4 （ 或11 。 1 4％） （A…3）
注意，如果你想得到标准差，你就必须先计算方差。标准差与方差提示的信息是
相同的，只不过采取了不同的形式而已。
我们已经知道加上常数r并不会影响随机变量的方差，当然，也就不会影响其标
准差。我们也知道了随机变量乘以一个常数后，其方差就会扩大该乘数的平方倍。从
式（A … 3）关于标准差的定义中可以看到，随机变量乘以一个常数后，其标准差就会
扩大该常数的绝对值倍，由于常数的符号在方差计算的平方过程中消去了，因此绝对
值是必须的。正式的，我们有：
（k r）＝｜k｜
（r）
你可以利用表A … 1中的数据验证一下。
方差系数：为了评价随机变量的散布程度，往往我们会把散布指标与其期望值进行
比较。标准差与期望之间的比值就称为方差系数。在安休瑟…布希公司股票的例子中：
C V =
/E（r） = 0 。 111 4/0。340 0=0。328 5 （A…4）
安休瑟…布希公司股票收益的标准差大概是期望收益的1 / 3。方差系数是否代表一
748 第八部分附录
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个较大的风险，这取决于其他投资项目方差系数的值。
但方差系数远非随机变量散布性质的理想指标。假设某一可能的随机变量具有零
期望。在这种情况下，不管标准差有多大，方差系数都将趋于无穷。很显然，这个指
标并不适用于任何情况。一般来讲，分析者必须根据手中特定的决策问题来挑选一个
关于散布性质的指标。在金融界，许多情况下我们一般考虑整体风险，此时标准差就
是较好的指标（对于某一单独的资产来说，我们使用本文中介绍的
指标）。
偏度：到现在，我们通过对平均“惊奇”（特定意义下）程度的描述，分析了一
些关于散布性质的指标。实际上标准差并不等于平均“惊奇”度，因为我们先把偏差
平方，然后再求偏差平方均值的方根，这样做就会加大对“大偏差”的权重。另外，
标准差也只是一个告诉我们关于偏差“预期”的指标。
许多决策者都认为期望值与标准差是随机变量最重要的两个统计量。但是，一
旦我们需要回答关于风险的另一个永恒的问题（风险是指随机变量对其期望的偏差）：
如果出现较大的偏差，是不是极有可能是正的？风险厌恶者比较担心负的偏差（即
“惊奇”），但标准差并没有把好情况与坏情况分离开来。如果某个随机变量具有易发
生的小的负偏差和不易发生但很大的正偏差，那么对于另一种具有相反特征的随机
变量（即具有易发生的小的正偏差和不易发生但大的负偏差）来说，许多风险厌恶
者都偏好于前者。因为不管怎么说，风险一般都被认为是发生灾难（大的坏结果）
的可能性。
能对好、坏结果可能性进行分离的一个指标是三阶矩。它仍然是建立在随机变量
对其期望的偏差d之上。如果把三阶矩记为M3，则有：
M3 ＝E（d3）＝E＇ri …E（r） ＇3＝。P r （i） ＇ri …E（r） ＇3 （ A … 5 ）
相对于小偏差来说，对每个d进行立方就强化了大偏差的程度。奇次幂仍能保持
其各自的符号。人们回忆起所有偏差加权（以发生概率为权重）之和为零，因为正负
偏差正好互相抵消。但现在当偏差的立方乘以各自的发生概率然后加和之后，较大的
偏差会占据优势。最终结果的符号会告诉我们究竟是正偏差明显（M3为正）还是负偏
差明显（M3为负）。
显然，之所以把偏度称为三阶矩，是因为在计算过程中我们使用了立方。同样的，
方差通常被称为二阶矩，因为我们通过平方得到了方差。
回到表A … 1中的投资决策。由于收益的期望值为3 4％，那么三阶矩就是：
M3 ＝0 。 2 （ 0 。 2 0…0 。 3 4 ）3＋0 。 5 （ 0 。 3 0…0 。 3 4 ）3＋0 。 3 （ 0 。 5 0…0 。 3 4 ）3＝0。000 648
三阶矩的正号告诉我们在此例中正偏差比较明显。你当然也可以通过考察偏差d
及其概率而猜到这个结果：此例中，3 0％的收益率是最有可能实现的收益结果，它将
会使投资者产生一个小的负“惊奇”，另一个负惊奇（2 0％ …3 4％＝…1 4％）的程度要小
于正惊奇的程度（5 0％ …3 4％＝1 6％），而且负惊奇发生的概率要小于正惊奇的概率
（0 。 3）。但是差别看上去确实很小，而且我们也不知道在安休瑟…布希公司股票的投资
决策中，三阶矩到底是不是一个很重要的考虑因素。
如果没有一个比较的标准，我们就很难判断0。000 648这个三阶矩值的重要性。利
用我们处理标准差的方法，我们可以取M3的三次方根（我们把其计为m3），然后把三
次方根与标准差进行比较。计算结果为m3=0。086 5=8。65％，与11 。 1 4％的标准差相比，
其并不是可有可无的。
A。1。3 另一个例子：关于安休瑟…布希公司股票的期权
假设安休瑟…布希公司股票的当前价格为3 0美元，现在有这一股票的看涨期权，
其期权价格为6 0美分，还有这一股票的看跌期权，其期权价格为4美元，它们都有相
同的期权执行价格4 2美元。当然只有当最后看涨期权处于“实值”，即股价高于执行
价格时你才会选择这样做，其中你的赢利就是期末股价与执行价格之间的差再减去看
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附录A 定量计算的复习
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涨期权的成本。有时就算你执行了看涨期权，你的赢利还是有可能为负，因为有时执
行期权所得的利润并不足以弥补初始购买看涨期权的成本。假如最终看涨期权处于
“虚值”状况，也就是说股价低于执行价格，这时你就会任由该看涨期权过期，而只
承担初始购买看涨期权的成本。
看跌期权允许你用执行价格卖掉股票。只有当到期时看跌期权处于“实值”，即
股价低于执行价格时，你才会选择卖掉股票，现在你的赢利就是执行价格与股价之间
的差再减去看跌期权的成本。同样地，如果从执行看跌期权所得的赢利并不足以弥补
看跌期权的成本，投资者就会蒙受损失。当到期看跌期权处于“虚值”状态时，你肯
定还会放弃看跌期权。这样你的损失就锁定在期初时购买看跌期权的成本之上。
这种投资方式的情景分析如下表A … 2所示。
看涨期权与看跌期权的收益率期望分别为：
E（r看涨期权）＝0 。 2 （…1 ）＋0 。 5 （…1 ）＋0 。 3 （ 4 ）＝0 。 5 （或5 0％）
E（r看跌期权）＝0 。 2 （ 0 。 5 ）＋0 。 5 （…2 。 5 ）＋0 。 3 （…1 ）＝…0 。 3 2 5 （或…3 2 。 5％）
表A…2 投资安休瑟…布希公司股票期权的情景分析法
项目情景1 情景2 情景3
概率0 。 2 0 0 。 5 0 0 。 3 0
事件
1 。股票的收益（％） 2 0 3 0 5 0
股价（初始价格＝3 0美分） / 美元3 6 3 9 4 5
2 。看涨期权所得现金流（执行价格＝4 2美元） / 美元0 0 3
看涨期权所得利润（初始价格＝6 0美分）/美元…0 。 6 0 …0 。 6 0 2 。 4 0
看涨期权收益率（％） …1 0 0 …1 0 0 4 0 0
3 。看跌期权所得现金流（执行价格＝4 2美分） / 美元6 3 0
看跌期权所得利润（初始价格＝4美分）/美元2 …1 …4
看跌期权收益率（％） 5 0 …2 5 …1 0 0
上式中看跌期权的期望收益为负，这也许反映了看跌期权作为套利资产的本质，
因为在此例中安休瑟…布希公司股票持有者需要购买它作为防止安休瑟…布希公司股价
下跌的保值措施。两种投资方式的方差与标准差为：
2
看涨期权＝0 。 2 （…1…0 。 5 ）2＋0 。 5 （…1…0 。 5 ）2＋0 。 3 （ 4…0 。 5 ）2＝5 。 2 5
2
看跌期权＝0 。 2 ＇ 0 。 5…（…0 。 3 2 5 ） ＇2＋0 。 5 ＇…0 。 2 5…（…0 。 3 2 5 ） ＇2＋0 。 3 ＇…1…（…0 。 3 2 5 ） ＇2＝0。275 6
＝。。 5。25 ＝2。291 3（或2 2 9 。 1 3％）
看涨期权
＝。。
0。2756 ＝0 。 5 2 5 （或5 2 。 5％）
看跌期权
这些标准差是比较大的。把看涨期权收益的标准差与其期望相除，我们得到方差
系数，有
2。291 3
C V看涨期权＝。。
0。5
=4。582 6
回忆一下股票收益本身的方差系数仅为0。327 5，很显然该种投资工具具有很高的
标准差。这对于股票期权来说是很正常的，尽管看跌期权的期望收益为负，但其方差
系数仍然可以描述“惊奇”的程度。
现在我们考虑两种概率分布的三阶矩：
M3（看涨期权）＝0 。 2 （…1…0 。 5 ）3＋0 。 5 （…1…0 。 5 ）3＋0 。 3 （ 4…0 。 5 ）3＝1 0 。 5
M3（看跌期权）＝0 。 2 ＇ 0 。 5…（…0 。 3 2 5 ） ＇3＋0 。 5 ＇…0 。 2 5…（…0 。 3 2 5 ） ＇3＋0 。 3 ＇…1…（…0 。 3 2 5 ） ＇3＝0。020 25
两种投资工具都向正方向偏斜，这�
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