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圆锥截面的理论、用它们来构造几何轨迹或解决问题的方法、一些其他曲线的发现，——这些都扩大了几何学直迄当时仍是非常之狭隘的工作。阿基米德发现了抛物线的求积方法，他还测量过球面积；而那是极限理论的第一步，它决定了一个数量的极限值、即该数量不断趋近但永远达不到的值；那也是那种科学的第一步，它教给人们怎样去发现趋近于零的两个数量的比例，并且进而达到用这些比例的知识来决定有限大的比例；总而言之，它是那种计算的第一步，那种计算乃是近代人以更多的骄做并不正确地称之为无限小的计算方法的。正是阿基米德，第一个确定了圆的直径与其周长的近似比例，他教给人们怎样可以获得它那越来越不断近似的值，并且使人们懂得了近似方法，这是对已知方法、并且也往往是对科学本身之不充分性的一项值得庆幸的补充。
我们在某种程度上可以把他看作是理论力学的创始人。我们有负于他的是杠杆理论和对流体静力学那条原理的发现，即一个物体置于液体中时所丧失其本身一部分的重量就等于它所排除的那部分液体体积的重量；
以他命名的螺旋、他在叙拉古之围的奇迹（即他的燃烧镜），都证实了他在机械科学方面的才能，但这些却被学者们忽视了，因为直到当时已知的理论的原理还不可能达到那一步。这些伟大的发现、这些新的科学，就把阿基米德置之于那些幸运的天才者们中间，他们的生平就成其为人类历史上的一个时代，而他们的存在就仿佛是自然界的一桩恩赐。
正是在亚历山大学派那里，我们发现了代数学的最早痕迹，也就是说，把数量看作是单纯数量的那种计算。在狄奥芬图斯的书里所提出的和解决的那些问题的性质，都要求把数看作是具有一种普遍的。不定的而且仅只服从于某些条件的值。
然而那种科学在当时并不像今天一样有着它自己的符号、自己的专门方法、自己的技术运算。人们是用文字表示这种普遍值的；而且人们是以一系列的推理来发现并展开对问题的解答的。
迦勒底人的某些观察，被亚历山大带给了亚里士多德，它们加速了天文学的进步。他们所贡献的最光辉的东西，都要归功于希帕库斯的天才。但是如果说，在他以后的天文学方面，正如在阿基米德以后的几何学和机械学方面一样，我们并未遇到更多的这类发现、更多的这类在某种程度上改变了整个一门科学的面貌的工作，那么它们却仍然长时期地、至少是在真理的细节上继续在自我完善、自我扩展并且自我丰富。
在他的动物史研究中，亚里士多德以精密人微的观察方式提出了有价值的原理和模型，以有系统的方法描述了自然界的对象，对观察进行了分类，并掌握了它们所提供的普遍结果。
对植物史和矿物史他也进行了研究，但准确性要差一些，而且观点也不大开阔、不大有哲学性。
解剖学的进步是非常之缓慢的，不仅是因为宗教的偏见反对解剖尸体，而且因为流俗的见解把接触尸体看成是一种道德的污秽。
希波克拉底的医学只不过是一种观察的科学，它只能引向经验的方法。宗派的精神。对假设的爱好，很快就感染给了医学；但是如果说错误的数量压倒了其中新的真理的数量，如果说医学的偏见或体系所造成的祸害远甚于它们的观察所能造成的好处；那么我们却也无法否认，医学在这个时代里做出了某些微弱的、但却是扎实的进步。
亚里士多德并没有给物理学带来他那动物史研究中所特有的那种确切性和那种明智的审慎。他膜拜他那个世纪的习惯和学派的精神，以各种假设的原理歪曲了物理学，以它们那些含混不清的普遍性轻而易举地在解说一切，因为它们不能以准确性解释任何东西。
何况，仅仅有观察是不够的；还必须有实验，实验就需要有仪器；而且看来人们当时还不曾搜集到足够多的事实，也还不曾看到足够多的细节，使他们感到有必要具有以那种方式去追问自然界并强迫自然界作出回答的那种想法。
在那个时代，物理学的进步史也只不过是把自己局限于一份少数知识的史表，它们出自工艺的实践所导致的机遇或观察，更多于出自学者的研究。水力学，而尤其是光学，呈现出一片不那么太荒芜的收获；然而它们却仍然不如说只是被人注意到了的事实，因为它们是由它们自身所提供出来的，而不是由实验所发现、或深思所推测的各种理论或物理学的定律所提供的。
［农业一直到这时候为止，还只局限于简单的常规，而且局限于教士们在向人民传授农业时以他们的迷信所败坏了的某些规则。农业在希腊人那里，而尤其是在罗马人那里，已成为一种重要的和受人尊敬的技术，最有学问的人都热心于搜集农业的方法和教诫。这些观察汇编做得很准确、收集得很仔细，可以向人们阐明农业的实践并传播有用的方法；然而人们仍然距离实验与计量观察的世纪非常之遥远。＇
机械的技术在开始与科学相结合；哲学家则在检查它的各种工作，探索它的起源，研究它的历史，从事描述各个不同地区耕作方法和产品，搜集这些观察，并把它们传给后代。
于是我们便看到了普林尼把人、自然和工艺都包括在他那部《自然史》的宏阔无比的计划之内，它是当时人类精神的真正财富所形成的一切之中的可贵创造，而普林尼之有权得到我们的感激是不可能被他所应受到的谴责一笔勾销的，即他太少选择并且太过于轻信地收入了历史学家和旅行者们的无知和谎言欺世向他那永不餍足要认识一切的贪欲所提供的任何东西。
在希腊衰落之际，雅典——她在她的盛期曾经尊崇过哲学和文艺，——现在却轮到她自己要靠哲学和文艺来更长期地来保存她住昔光辉的某些残照了。人们不再是在讲坛上衡量希腊的和亚洲的命运了，反而是在罗马人学会认识雄辩术的秘密的雅典学园里，是在造就出来了罗马最早演说家的德摩第尼斯灯塔的脚下。
雅典学园、莱修姆学园、画廊学园和伊壁鸠鲁花园就是哲学王国里四个相互论战的派别的摇篮和主要的学派。
在雅典学园里，人们教导说，没有什么是确凿无疑的；对于任何事物，人们都不可能达到真正的确定性，也甚至于不可能达到一种完全的理解；最后（恐怕很难走得再远了）也不可能肯定我们一无所知的不可能性，并且即使是对怀疑一切的必要性，也必须加以怀疑。
人们在这里阐发、辩护并争论着其他哲学家们的见解，但作为适宜于锻炼精神的假说，并且由于随这些争论而来的不确定性，便更加使人感到人类知识的虚幻以及其他派别的武断的信念之可笑。
但正是这种为理性所认可的怀疑，——当它引导人们绝不要以那些我们不能赋之以明白确切的观念的词句进行推理时，当它调节我们对每一个命题的或然性的同意程度时，当它对每一类知识要确定我们所可能获得的确凿性的限度时，——正是这种怀疑，假如它超逾了已被证实了的真理的话，假如它攻击了道德原则的话，就会变为愚蠢或疯狂；它就只会有利于无知和腐化：这便是在雅典学园中取代了柏拉图早期弟子们的那些智者派所陷入的极端境地了。
我们将要阐明这些怀疑派的历程和他们的错误的原因；我们将要探讨，在他们学说的夸大其辞之中什么是我们应该归咎于他们在以荒诞的见解而标新立异的那种狂妄；我们要使人看到，如果说他们已经足够强劲地遭到了旁人本能的驳斥，并且遭到了那些以之指导自己本身生活行为的人们的本能的驳斥的话，那么他们却从不曾被哲学家很好地理解过，也不曾被哲学家很好地驳斥过。
然而，这种过度的怀疑主义并没有牵引着整个的雅典学园派；这里有一种不以人们的利益、人们的传统、甚至人们的存在为转移的对正义、对美、对诚实的永恒观念，这一观念是铭刻在我们的灵魂之中的，它成为了我们义务的原则和我们行动的规范；这种学说是柏拉图的、对话录、提出来的，由他的学派所继续发扬而形成了它的道德教训的基础。
亚里土多德并不比他的老师们更懂得分析观念的艺术，也就是说，怎样地逐步追溯到已经构成了组合体的那些最简单的观念；怎样地深入到这些观念的形成的根源之中去，并在它们的运作中追踪人类精神的进程及其能力的作用的发展。
因而亚里士多德的形而上学，也像其他哲学家的形而上学一样，就只是一种空洞的学说，时而是建立在滥用文辞之上，时而又是建立在简单的假设之上。
然而正是由于他，我们才得出了这一重要的真理、这一对人类精神的知识的第一步，即我们哪怕是最抽象的、最纯属智力的观念，可以说也都在我们的感觉中有着它们的根源。但是他并没有据此做出任何发展。它倒不如说是一个天才人物的洞识，而非经过精确分析的、并且其中结合了可以得出普遍真理来的一系列观察的结果。于是这粒种子便被弃掷在一片不毛之地上，直到二十多个世纪以后才结出有益的果实来。
亚里士多德在他的逻辑学中，把一切证明都归结为一系列服从于三段论式的论证；他继而把所有的命题分为四类，这四类就包括了一切命题；他学会了在这四类（每次取三个）命题的全部可能的组合之中，怎样去识别那些符合、而且必然符合三段论结论的命题。人们用这种办法就可以判断一种论证的正确或弊病，只要是知道了它属于哪种组合。于是正确推理的艺术，在某种程度上就是属于技术性的规则了。
这种巧妙的观察迄今为止，始终是无用的；但是或许有一天，它会成为朝向推理和辩论的艺术似乎仍在期待着的那种完善化所迈出的第一步。
按亚里士多德的说法，每一种德行都处于两种恶之间，这两种恶的一种是不及，另一种则是过分；在某种程度上，德行只不过是我们的天然的倾向之一，而理性则防止我们对它过分抗拒以及过分顺从。
这条普遍的原则可能是按照当时哲学中极其常见的那种对秩序与合宜性的朦胧观念而呈现给他的；但是他却使用了在希腊语中是表示人们所称为的德行的那些字汇而证实了这条原则。
差不多就在同时，有两个新派别依据着至少在表面上是原则相反的道德，瓜分了人类的精神，把他们的影响远远伸张到了他们学派的界限之外，并且促进了希腊迷信的衰落，于是希腊的迷信不幸就很快地被一种更阴暗的、更危险的、更加敌视知识的迷信所取而代之。
斯多噶派认为灵魂所拥有的德行与幸福对逸乐与对忧伤是同样地无动于衷，他们解脱了一切感情，高出于一切恐惧和一切柔弱之上，除了德行而外就不知道有任何真正的善，除了内疚而外也不知道有任何实在的恶。他们相信人有能力把自己提升到这个