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我们再用几何平均数的方式来计算一下。你将两个同时存在的可能数值相乘÷20万美元×0美元然后计算平方根。因为零和任何数相乘其结果都为零，所以几何平均值得出的是零。如果你认定这是赌注的真正价值，那么你就不会舍得把你10万美元的净资产投在上面了。
几何平均值一般都会小于算术平均值（只有当所有的数值都相等，两个平均数才会相等）。这就说明，在评估风险问题时，几何平均数要更为保守一些。伯努利相信这种保守主义更符合人们对风险的排斥态度。
由于在风险投资中，几何平均数总是小于算术平均数，〃公平的〃赌注事实上是不受欢迎的。伯努利认为，这是〃自然的警告，让人们远离赌博〃。（伯努利认为人们从赌博当中不会得到任何乐趣。）
在伯努利看来，只有当优势偏向于某一个人的时候，这个赌注才是有意义的，或者说如果参赌的人财富实力不同的时候，赌注才有价值。通过这个理论，伯努利解决了一个华尔街的老问题。每次交易股票的时候，买方会认为自己是在交易中占上风的那一个，卖方也这么认为。这说明总有一方的判断是错误的。
伯努利对这个想法提出了质疑：〃给一个情况不太明了的企业进行投资，有些人这么做可行，但其他人这么做就不明智。〃虽然没有谈论股市，但是伯努利提到了一名〃圣彼得堡商人〃，这名商人必须从国外通过海上运输进货。这也是一种赌博行为，因为船只有沉没的风险。商人面临是否购买保险的选择，但是如果通过算术平均数计算，保险不是很理想的赌注。保险公司一直是通过保金来盈利的。
伯努利提出如果这名商人相对来说财富实力不强，他一般会通过购买保险（即便保金的价格过高）来提高自己的几何平均值。而与此同时，实力雄厚的保险公司因为卖掉了一份保单，也提高了自己的几何平均值。
伯努利认为理智的人会争取最大化的几何平均数，虽然他们自己可能并没有意识到这一点：〃因为我们所有的假设都会以我们的经验为依据，我们不能抛开经验，而仅仅是凭我们的猜测来行事。〃
伯努利定律和约翰 凯利1956年的出版作品有密切的联系，可以把凯利的解决方案看作是这个简单定律的重述：当我们面临下赌注或投资的选择时，应当选择那个几何平均数最高的。这项凯利标准定律，比计算赌博的〃优势/概率〃的凯利公式应用范围更为广泛。
第81节：第四章（6）
如果可能性并不是平等地存在，你需要根据其可能发生的概率来进行衡量。一个办法是将财富的期望对数值最大化。任何遵循这条规则的人都会按假定自己已经拥有了对数效用的方式来运作。
从年代的顺序来看，我们很自然地会质疑凯利是否读过伯努利的文章。这一点很难查证。凯利并没有提到伯努利，如果他了解伯努利的成果，应当是不会这么做的。作为一名通讯方面的科学家，凯利读过《计量经济学》的可能性也不大。
但是，伯努利的文章对亨利 拉坦内有着直接的影响。最终，是亨利 拉坦内，而不是凯利将伯努利的思想介绍给了经济学家。
亨利 拉坦内
亨利拉坦内参加工作的时候正赶上灰暗的1930年，但他运气很好，作为哈佛大学MBA的毕业生，他声称自己是经济萧条之前华尔街聘用的最后一名员工。从30年代到40年代，他一直从事金融分析师的工作。萨缪尔森认为像他这样的人应该有一份真正意义上的工作。从某种角度上来说，亨利拉坦内也确实是这样做的，他接受了萨缪尔森的建议。到了中年之后，拉坦内辞去了华尔街的工作，回到大学攻读博士学位，之后，他一直从事教育和理论方面的工作。
1951年，拉坦内在北卡罗来纳大学开始研究投资组合理论，并把这个理论作为自己在博士期间的研究方向。他阅读了伯努利文章的译文，觉得可以把这个理论运用到股票的产品组合中。随后，拉坦内遇到了列昂尼得萨维奇，他说服萨维奇相信几何平均数的理论对于长期投资者来说非常有意义。
1956年2月17日，拉坦内在著名的耶鲁大学考尔斯基金会学术研讨会上介绍了他的研究工作。当时的与会者中有哈里 马科维兹。
马科维兹是投资组合理论派的创始人，投资组合也被称作均值方差分析。马科维兹用数据说明多样化可以有效地化解风险，即购买不同的股票，而不是集中购买一种股票。
这种思路被大众广泛接受，所以大家很容易就忘记有一些聪明人还有另外的想法。1942年，约翰 梅纳德凯恩斯这样写道，天真地认为〃安全第一〃的投资策略是把资金分散开来押在许多不同的公司的股票上，而对这些公司缺少信息做出足够准确的判析，与对一个公司的情况了如指掌所获信息准确而进行投资相比，是荒唐可笑的。
凯恩斯一直很困惑，自己不知道比起其他人来，是否能更好地选择股票。既然萨缪尔森的拥护者已经把这个理念扔到了中世纪迷信的垃圾箱里，马科维兹的发现就有了特殊的借鉴意义。可能你是无法战胜市场的，但是你至少可以把风险最小化，这会使结果很不一样。例如，马科维兹用数据证实，买20到30只不同企业的股票，投资者可以把整个投资组合的风险降低一半。
马科维兹认为即便是完美的高效市场也不会磨蚀掉股票之间的差异。一些股票本身就比其他的股票具有更高的风险。因为没有人喜欢冒险，所以市场的调节方式赋予这些股票较低的价格。这就意味着投资到这些有风险的股票上，平均回报率会相对高一些。
均值方差，正如这个名字，均值方差分析着重于根据历史股票价格计算出来的两个统计数字。均值指年度平均回报。这是一个有规则的算术平均数。方差来确定这个回报每年是如何围绕着平均值上下波动的。没有哪个股权投资每年回报率都是相等的。一只股票可能今年获利12％，明年亏损22％，再一年获利6％。股票的回报率动荡越大，其方差就越大。因此，方差可以计算风险大概值。
第一次，马科维兹准确地提出了风险和回报之间的折中办法。虽然他的理论直截了当地拒绝偏袒任何一方。风险和回报就像橙子和苹果，高回报和低风险哪个更重要？根据马科维兹的理论，这由个人的口味决定。
所以，均值方差分析并不能告诉你到底该买哪种投资组合。它只是为你提供了一个选择的标准：在一定水平的波动下，这种产品组合会带来更高的平均回报，或者是这种产品组合在保证一定的回报水平时，波动会比其他的产品小一些。