世界古代中期科技史- 第27节

　　　　就来说，它是这样一个巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上几　

　　　　乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古典希腊几何的　

　　　　登峰造极之作。”①　

　　　　　　　　　　《圆锥曲线》一书的内容分为8篇，共计有487个命题，可惜的是　

　　　　第8篇已经失传。　

　　　　　　　　　第1篇给出了圆锥曲线的定义并讨论了它的性质。阿波罗尼乌斯推　

　　　　广了梅奈克莫斯的方法，第一个依据同一个圆锥的不同截面，分别研究　

　　　　了椭圆、抛物线和双曲线。在他之前，梅奈克莫斯等人是分别以三种不　

　　　　同的圆锥，即锐角圆锥、直角圆锥和钝角圆锥的同一截面，来发现和研　

　　　　究圆锥曲线的。椭圆（原名亏曲线）、抛物线（原名齐曲线）和双曲线　

　　　　　（原名超曲线）的名称就是阿波罗尼乌斯引入的，取代了　　　　　　　　　　　　　　　　　　梅奈　

　　　　克莫斯的锐角圆锥曲线、直圆锥曲线和钝角圆锥曲线之称，他还是第一　

　　　　个发现双曲线有两支的人。　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6。14椭圆曲线的共轭直径　

　　　　　　　　　在阿波罗尼乌斯研究这些圆锥曲线的性质时，他　还引入了共轭直径　

　　　　的概念。如图6。14，考察椭圆中与FG平行的一组弦，这些弦的中点都　



①　［美］贝尔：《数学人物》，转引自解延年、尹斌庸编著《数学家传》，湖南教育出版社1987　年版。　

①　克莱因：《古今数学思想》第一册，第102　页。　


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在一直线AB上，AB则被称圆锥曲线的直径。阿波罗尼乌斯证明了若过　

AB的中点C作直线DE平行于FG，则DE将平分所有平行于AB的弦，DE　

就叫做AB的共轭直径。对双曲线，AB的共轭直径DE被定义为AB与双曲　

线的正焦弦的比例中项，它与双曲线并不相交，如图6。15。对抛物线，　

由于它的任一直径总是平行于对称轴，而平行于直径的每根弦都是无限　

长，因此，抛物线没有共轭直径。阿波罗尼乌斯通过直径及共轭直径来　

描述圆锥曲线的一些性质，可以认为这里已含有坐标的思想萌芽。　

　　　　　第2篇首先描述了双曲线渐近线的性质，阿波罗尼乌斯不仅指出双　

曲线渐近线的存在，而且还指出在定的长度。在这一篇，阿波　　罗尼　

乌斯还说明了如何求圆锥曲线的直径以及有心　圆锥曲线的中心和轴的　

方法。最后，阿波罗尼乌斯给出了怎样做满足给定条件的圆锥曲线的切　

线。　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6。15双曲线的共轭直径　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6。16圆锥曲线的极线　

　　　　　第3篇首先论述了关于圆锥曲线的切线与直径　所成图的面积定理，　

接着又论述了极点和极线的所谓调和性质。如图6。16，TP与TQ是圆锥　

曲线的切线，　直线TRIS过T并与圆锥　曲线相交于R与S，与PQ相交　

于I，则有：　

　　　　　　TR　　　IR　

　　　　　　TS　　
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　　　　　　　　　阿波罗尼乌斯对圆锥曲线的创造性研究及理论的系统化工作是极有　

　　　　价值的，特别是对后来天文学、力学的发展起到了积极的作用。对此，　

　　　　英国科学家贝尔纳高度评价道：“他的工作如此的完备，所以几乎二千　

　　　　年后，开普勒和牛顿可以原封不动地搬用，来推导行星轨道的性质。”①　

　　　　　　　　　阿波罗尼乌斯除了《圆锥曲线》这部巨著之外，还有其它一些数学　

　　　　著作。其中二本书中，各有一个对后世有较大影响的问题。一个是在《论　

　　　　切触》这本书中，阿波罗尼乌斯讨论了作一个圆与三个给定圆相切的问　

　　　　题，这在当时算是一个比较难的问题，以致成为一道历史名题，称之为　

　　　　　“阿波罗尼乌斯问题”。这个问题引起许多数学家的注意，像韦达、欧　

　　　　拉和牛顿这样著名的数学家都给出过这个问题的解。另一个是在《平面　

　　　　轨迹》这本书中，阿波罗尼乌斯给了一个定理：“如果A和B是两个固　

　　　　定点，K是一个给定的常数，则使AP/BP=K的点P的轨迹是一个圆（如果　

　　　　K≠1）或是一条直线（如果K＝1）。这个定理中的圆，在有些教科书中　

　　　　被称为“阿波罗尼乌斯圆”。　

　　　　　　　　　（9）亚历山大前期的算术和代数　

　　　　　　　　　从毕达哥拉斯学派开始，到欧多克斯将数与量加以区分，古希腊的　

　　　　数学偏重于几何学，古希腊的几何学产生了巨人和巨著。与几何学相比，　

　　　　算术和代数的发展是相当缓慢的。　

　　　　　　　　　记数制在亚历山大前期有了一些发展，阿基米德和阿波罗尼乌斯发　

　　　　明了两种记大数的方法。阿基米德在《数砂术》中，提出了一种写大数　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8　

　　　　的方案。他取当时希腊数学里最大的数“万万”，即10作为记数的一个　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　24　

　　　　新单位，由此出发又可以往下记出一系列大数，可到　10。这样不断增　

　　　　大，可以记下去表示出任意大的数。阿基米德估计宇宙间砂粒数目要小　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4　

　　　　于他能写的最大数。阿波罗尼乌斯也有类似的方法，只不过他是取　10　

　　　　为一个记数单位。但这还没有能达到10进位的位值制。这一时期，古希　

　　　　腊的天文学家则在分数中分母用60进制。　

　　　　　　　　　在亚历山大前期的数学家之前，古希腊的数学家只把分数当作整数　

　　　　之比，实际的分数只是在商业上才有意义，那是为了表示钱币或度量单　

　　　　位的若干部分，这种数学的实际应用被排斥在数学研究的范围之外。但　

　　　　是，到了亚历山大前期，情况有了一些变化。一些数学家开始从追求完　

　　　　美而转向注意实际应用，并使这种转变体现在数学的研究中。欧几里得　

　　　　在　《几何原本》中，对分数给出了定义，但没有给出运算方法。阿基米　

　　　　　德在他的《圆的度量》中，对大数和分数进行了运算，他得出　3的　

　　　　很好的近似值。　

　　　　　　　　　1351　　　　　　　　　265　

　　　　　　　　　　　　　　＞　3＞　

　　　　　　　　　　780　　　　　　　　　153　

　　　　　　　　　古希腊代数著作是纯粹用文字形式写出的，到亚历山大前期，代数　

　　　　的重大进展是产生了代数符号。欧几里得在《几何原本》中曾用字母表　

　　　　示一类数，阿基米德在讨论运动时也曾经用字母表示一段时间或一段距　

　　　　离。但是，他们并未认识到字母表示对于代数进一步发展的重大意义。　

　　　　因此，他们的工作停留在初步和零散的状况。真正系统地提出代数符号，　

　　　　那已是公元3世纪的事了。　



①　贝尔纳：《历史上的科学》，科学出版社1959　年版，第124　页。　


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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3。中国古代数学知识的积累　



　　　　　（1）四则运算和筹算　

　　　　　在殷墟甲骨文卜辞中，已有很多记数的文字，当时已采用了十进位　

制。到了春秋时期，记录大数已经用亿、兆、经、姟等字表示数字的十　

进单位。　

　　　　　春秋战国时期四则运算方法已趋完备。如战国初年李悝的《法经》　

中，已讲到了减法、乘法和除法。不少先秦典籍中都有乘法口诀的例句，　

但到春秋战国时期才有不完全的记载。　《夏侯阳算经》说：“乘除之法　

先明九九”。因当时的乘法口诀是从“九九八十一”起到“二二如四”　

止，共36句；口诀以“九九”二字开头，故将乘法口诀称为“九九”。　

　　　　　中国古代用算筹作为记数工具，并由此发展起一种独特的计算方　

法，即筹算。算筹就是一些径约一分、长约六寸（合现在13。8厘米）的　

小竹棍；利用算筹在案上摆成数字进行计算，就叫筹算。表示数目的算　

筹有纵横两种筹式：用筹来表示一个多位数字，其方法就像现在用数码　

记数一样，把各位的数目纵横相间地从左到右横列，个位用纵式，十位　

用横式，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式；数字中遇有零时，　

就用空位表示。如86032，其筹式为　　　　　　　　　　　　　　　　，百位上空位不放算筹。由　

于筹式用的是“十进位值制”，不同位值要纵横相间摆设算筹，所以空　

位很易辨别。筹算的加减法是摆上两行筹式，位数对齐，相加相减变成　

一行筹式就得出结果。乘法则分三层摆筹，上位、中位、下位分别相当　

于被乘数、积和乘数；除法也分三层摆筹，中位为实　（被除数），下位　

为法　（除数），上位为商。图6。18给出84×61的筹算图式，所得积为　

5124（图）；图6。19给出5987÷　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　

16的筹算图式，所得商为374　　　　　　　　　。　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　16　

　　　　　十进位值制记数法和以筹为工具的各种运算，是中国古代一项十分　

杰出的创造，比古巴比伦、古埃及和古希腊所用的计算方法更为优越。　

　　　　　春秋战国时期，分数已常被使用。当时历法计算中的奇零就用分数　

表示；生产和生活中大量的分配问题，也常用到分数概念。如《管子》　

在谈到土地种植的分配时有“十分之二”、“十分之四”、“十分之五”、　

　“十分之七”等分数；《墨子》在讲到食盐的分配时有“二升少半”、　

　“一升大半”的说法。“半”即二分之一，“少半”为三分之一，“大　

半”为三分之二，都是当时通用的分数术语。《考工记》中对于各种器　

具规格的规定，大量使用了分数，而且有了分数运算。　

　　　　　从战国墓葬中出土的天平砝码的重量，以1、2、4、8……递增，这　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0　　1　　2　　3　

相当于等比数列、2、2、2、2……。在乐律研究中，《管子·地员》　

篇提出了“三分损益法”的乐律计算方法，其法为“先主一而三之，四　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4　

开以合九九”。相当于1×3=9×9=81。这两个例子表明当时已有了指数　

的初步概念。　

　　　　　（2）几何知识　

　　　　　　《周髀算经》卷上之一中，记载了西周开国时期周公姬旦与大夫商　

高关于原始的割圆之法的问答。第一段讲周天历度之数的方法，即勾股　


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法。文中称：“故折矩以为句（勾），广三，股修四，径隅五。既方其　

外，半之一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓　

积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”这是说在夏禹时已有了　

　“勾三股四径（弦）五”这个勾股定理的特例的知识了。在卷上之二中　

更有“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）