世界近代中期科技史- 第16节

顿发明了著名的二项式定理。而这一定理作为曲线形面积的最直接最简便的　

求积方法，对牛顿发明微积分方法起了直接的推进作用。　

　　　　　1669年，即牛顿继任卢卡斯讲座数学教授的当年，牛顿即着手进行微积　

分的研究。同年，他写出了记述微积分的第一部重要论著：《运用无穷多项　

方程的分析学》。在这一论著中，牛顿在他初步引入的无穷小量的基础上，　

找到了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，并因此初步地建　

立起微积分的基本原理。但这一论著的原稿在当年送交皇家学会登记备案　

后，直到1711年才公开发表。　

　　　　　1671年，牛顿写出了研究微积分的第二部重要著作：《流数法与无穷级　

数》，即《流数术》。在这一著作中，牛顿改变了变量由无穷小量组成的看　

法，从力学的瞬时速度的角度对微积分方法进行了研究。他从力学的运动观　

念出发，把两个变量称为“流”，而把两个变量的变化率称为“流数”。同　

时指出：微分的基本问题，乃是由已知的两个流之间的关系，求它们的流数　

之间的关系。而积分不过是微分的逆运算。在《流数术》中，牛顿还讨论了　

流数术的一些应用，如用它微分隐函数，求曲线的切线，求极大值与极小值，　

求曲线的曲率等。在《流数术》中，牛顿还附入了一个积分的简表。但《流　

数术》在牛顿生前也未能出版。直到1736年，即牛顿逝世9年后，这一著作　

方从拉丁文原稿译成英文出版。　

　　　　　1676年，牛顿写出了研究微积分的第三部重要论著：《曲线求积法》（一　

译《求曲边形的面积》）。早在1672年，牛顿在研究华里斯的求积方法时，　

就发现了曲线的作法及其计算方法。在研究求积问题的基础上，牛顿在《曲　

线求积法》中进一步改变了对无穷小量的看法，并试图进一步消除甚至完全　

抛弃无穷小量的概念，以建立起不用无穷小量的微积分。他说：“我认为数　

学中的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的。直线　

不是一部分一部分的连接，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的；　

面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的　

流动生成的。”牛顿在放弃无穷小量的概念之后，代之以另一新的观念：最　

初的和最终的比　（亦译为基本的和最终的比）。他说：“流数可以任意地接　

近于在尽可能小的等间隔时段中产生的流量的增量，精确地说，它们是最初　

增量的最初的比。”同样，牛顿的这一著作也直到1704年才公开发表。　

　　　　　尽管牛顿在对无穷小量这一基本概念的表述中，经历了前后不同的演　

变，并因此引起了这一概念自身的混乱。但是，正是在持续十年左右的探索　

中，微积分的基本原理和主要方法，都由牛顿较为完整地建立起来了。　

　　　　　后来，牛顿把微积分的基本原理写入他在1686年底完成的《自然哲学的　

数学原理》这一总结性的著作中。在《原理》的第三版中，牛顿似乎已在微　

积分的极限理论周围徘徊。他说：“量在其中消失的最后比，严格说来，不　


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　　是最后量的比，而是无限减少的这些量的比所趋近的极限，而它与这个极限　

　　之差虽然能比任何给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前既不能越过也　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①　

　　不能达到这个极限。”当然牛顿只是提出了最初的极限概念，并未能最终建　

　　立起极限理论。但是，牛顿的极限概念无疑是后来法国著名数学家柯西（1789　

　　—1857年）建立极限理论的思想起点。所以，尽管牛顿的微积分方法本身还　

　　不十分完善，而且还缺乏严密的数学理论基础，但是，作为一种全新的数学　

　　方法，它的发明已由牛顿基本上完成了。　

　　　　　　　微积分的发明，是继笛卡尔和费尔玛的解析几何发明之后，近代数学史　

　　上的又一大功绩。自此之后，整个数学才真正进入了一个全新的发展时期—　

　　—高等数学的发展时期。如果说，解析几何的发明还只是高等数学的曙光的　

　　话，那么微积分的发明则是高等数学的光辉灿烂的日出了。自此以后，整个　

　　近代数学的面貌就大大地改观了。　

　　　　　　　微积分的发明，也使整个近代科学获得了全新的数学方法，因为“只有　

　　微分学才能使自然科学可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运　

　　　　　　　②　

　　动”　。　

　　　　　　　当然，在很少一段时期内，在天文学和力学以外的自然科学领域内，人　

　　们尚未一下看到这一新的数学方法的潜力。直到19世纪70年代初，当英国　

　　著名电磁学家麦克斯韦（1831—1879年）运用微积分建立起关于经典电磁理　

　　论的麦克斯韦方程时，人们才进一步认识到这一数学方法的巨大威力。　



　　　　　　　（2）莱布尼茨　（1646—1716年）　

　　　　　　　①非凡的才能。莱布尼茨生于德国的莱比锡。1664年，莱布尼茨在莱比　

　　锡大学毕业，以一篇有关逻辑学的论文获哲学学士学位。1666年，他又以一　

　　篇有关方法论的论文　《论组合的艺术》获阿尔特道夫大学的哲学博士学位。　

　　同年，获阿尔特道夫大学教授席位。此后，莱布尼茨即任教于该校，开始进　

　　行哲学、数学、力学等方面的科学研究。　

　　　　　　　青年时代的莱布尼茨就十分关注应用数学的发展。当时，在应用数学的　

　　发展中最引人注目的进展是机械式计算机的发明。早在1649年，法国著名数　

　　学家巴斯噶就发明一种可进行加减运算的机械式计算机。自此之后，法国曾　

　　一度成为计算机技术的研究中心。正是在这一背景之下，莱布尼茨也来到巴　

　　黎，研究了以巴斯噶计算机为基础的计算机技术。　

　　　　　　　在巴斯噶计算机的基础上，莱布尼茨进行了两方面的改革。其一，莱布　

　　尼茨把巴斯噶计算机中的十进制改为由他发明的二进制。当时，在明末清初　

　　来华的法国传教士曾把中国阴阳八卦与自然哲学思想带回法国。在中国阴阳　

　　八卦中的朦胧的二进制观念的影响下，莱布尼茨最先发明了二进制，并立即　

　　把这种二进制运用到他的计算机中。对于早期的那种机械式计算机来说，虽　

　　然莱布尼茨的二进制未能显示出明显的优越性，但它对后来计算机技术的发　

　　展产生了重要的影响。其二，莱布尼茨对巴斯噶计算机的机件设备也进行了　

　　一些改革，如加装了梯形轴等装置。由于进行了上述二进制和机件两方面的　

　　改革，莱布尼茨终于在1671年发明了一台新的机械式计算机。　

　　　　　　　由于莱布尼茨在哲学和科学上的才华，1672年3月，作为梅因兹选帝侯　



①　＇美＇M·克莱因：《古今数学思想》第二册，上海科学技术出版社1979年版，第74—　76页。　

②　恩格斯：《自然辩证法》，人民出版社1971年版，第249页。　


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的大使，出使巴黎。在出使期间，莱布尼茨结识了在巴黎科学院任职的荷兰　

科学家惠更斯，由于惠更斯的影响，莱布尼茨进一步产生了对数学的兴趣。　

虽然在此之前，莱布尼茨也读过一些数学著作，但对于当时的数学的最新进　

展，莱布尼茨基本上还不熟悉。正是在惠更斯的引导之下，莱布尼茨开始研　

究笛卡尔、费尔玛和巴斯噶等人的著作，通过对笛卡尔等人的著作的研究，　

莱布尼茨得以迅速地走向当时数学的最前沿。　

　　　　　1673年，莱布尼茨又以梅因兹选帝侯的外交官员的身分出使英国。在伦　

敦期间，他结识了英国皇家学会的许多知名人士。在这些知名人士中，对莱　

布尼茨影响最大的是英国皇家学会的联络秘书欧登堡，由于欧登堡与英国科　

学界有广泛的联系，因此他为莱布尼茨广泛了解英国科学的进展提供了极大　

方便。同年，莱布尼茨在英国皇家学会演示了他所发明的二进制的机械式计　

算机，并因此在同年被选为英国皇家学会会员。在英国期间，莱布尼茨除了　

继续研究笛卡尔、费尔玛等人的数学著作之外，他还研究了英国著名数学家　

华里斯及巴罗等人的数学著作，特别是巴罗的《几何讲义》，对莱布尼茨的　

影响最大。通过上述研究，他开始认识到求曲线的切线问题的重要性。这样，　

莱布尼茨也就在英国产生了微积分思想的最初萌芽。　

　　　　　②微积分的发明。不久以后，莱布尼茨返回巴黎，直至1676年被任命为　

汉诺威选帝侯图书顾问而被召回德国。　

　　　　　在巴黎期间，莱布尼茨继续研究笛卡尔的解析几何，从中吸取了笛卡尔　

在《几何》中所用的求曲线的切线方法。同时，莱布尼茨还继续研究巴罗的　

　《几何讲义》，从中吸取了巴罗的微分三角形法，并从巴罗的著作中意识到　

微分与积分的互逆性质。与此同时，他还通过欧登堡继续了解英国数学方面　

的最新进展，根据莱布尼茨的自述，经过一年多的努力，他在1674年发明了　

微积分的基本原理和主要方法。　

　　　　　莱布尼茨发明微积分的起点，是求曲线的切线作法及其计算问题。在研　

究过程中，莱布尼茨从巴罗在解决这一问题时所用的微分三角形法中得到启　

发，创立了他自己的一种新方法——纵坐标差分法。莱布尼茨所创立的这种　

新方法的基本特点，按照他自己的说法，乃是把曲线及其切线置于笛卡尔坐　

标系中，求切线的问题即可相应地转变成求横坐标与纵坐标变化率之差。　

　　　　　在创立纵坐标差分法之后，莱布尼茨又相继在原理和方法上作了一些新　

的研究。在1675年10月29日的一篇手稿中，莱布尼茨已决定用∫作为求和　

的符号；11月11日，他又在一篇题为《切线的反方法的例子》的手稿中，　

进一步对微分和积分的符号进行了探讨。此后，他又在一些数学手稿中证明　

了微分和积分的互逆性，导出了微分法和积分法的一些基本原则。尽管在无　

穷小量这一概念上他与牛顿一样含糊不清，但最迟在1676年，莱布尼茨已基　

本上完成了微积分的发明。　

　　　　　当时，英国科学家牛顿也在研究微积分。因此莱布尼茨作为外交使节出　

使英国期间，曾通过欧登堡与牛顿有过通信往来。后来，当莱布尼茨返回巴　

黎留任驻法大使时，以及返回德国任汉诺威图书顾问以后，莱布尼茨仍然通　

过欧登堡与牛顿保持着一定的联系。1676年，莱布尼茨在与欧登堡的通信　

中，得知牛顿的微积分研究已有显著的进展时，因此，他要求欧登堡告诉他　

有关这方面的消息，欧登堡把莱布尼茨的愿望转给牛顿，牛顿即于1676年6　

月13日，写了一份关于他的流数法的简要说明，请欧登堡转寄给莱布尼茨。