是可以被素数ｎ整除的，则如果ａ是不能被ｎ整除的，则ｂ应当被ｎ整除。“让我们假定ａ＝ｂ，并且它们的积ａ×ａ（ａ２）能被ｎ整除。
由这个假定得出：“如果ａ是不能被ｎ整除的，则ａ是可被ｎ整除的。”这里我们就有了一个前件为其后件否定的真蕴涵式的例子。
从这个蕴涵式中欧几里德导出定理：“如果ａ２可被一素数ｎ整除，则ａ可被ｎ整除。”
１７。换位法证明A用一个前提换位来证明不完全的三段论，既是最简单的也是亚里士多德最经常使用的。
让我们分析两个例子。
第二格Ｆｅｓｔｉｎｏ式的证明是这样：“如果Ｍ属于无一Ｎ，但属于有些Ｘ，则Ｎ必不属有些Ｘ也是必然的了。
因为否定前提是可换位的，Ｎ属于无一Ｍ，但已认定Ｍ属于有些Ｘ；所以Ｎ不属于有些Ｘ。
达到这个结论是借助于第一格。“
①
这个证明基于两个前提：其一是Ｅ命题的换位律：（１）如果Ｍ属于无一Ｎ，那么Ｎ属于无一Ｍ，另一个是第一格的Ｆｅｒｉｏ式：（２）如果Ｎ属于无一Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ不属于有些Ｘ。
从这些前提我们必定导出Ｆｅｓｔｉｎｏ式：（３）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ不属于有些Ｘ。
亚里士多德直观地进行这个证明。
在分析他的直观时，我们发
①《前分析篇》ｉ。
５，２７ａ３２。
…… 90
８７第三章 亚里士多德三段论系统
现两条命题演算的断定命题：其一是上面已提到的假言三段论定律，它可以陈述为下列形式：（４）如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么［如果（如果ｑ，则ｒ）
，则（如果ｐ，则ｒ）
］，①
另一断定命题读作：（５）如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么（如果ｐ并且ｒ，则ｑ并且ｒ）。
这个断定命题在《数学原理》中，根据皮亚诺的主张，把它叫做因子原则（ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
ｏｆ
Ｆａｃｔｏｒ）。
它表明我们可用一个公因子“乘”蕴涵式的两边，即，我们可借助于“并且”这个词，把一个新命题ｒ加于ｐ和加于ｑ，②
我们从断定命题（５）
开始。
因为ｐ，ｑ和ｒ都是命题变项。
我们可以用亚里士多德逻辑的前提去代替它们。
以“Ｍ属于无一Ｎ”代ｐ，“Ｎ属于无一Ｍ”代ｑ，以“Ｍ属于有些Ｘ”代ｒ，我们从（５）的前件可得出换位律（１）
，并且我们可把（５）
的后件分离出来作为一个新的断定命题。
这个新断定命题有形式：（６）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ属于无一Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ。
这个断定命题的后件与断定命题（２）的前件等同，因此，我们可对（６）与（２）应用假言三段论规则，以合取式“Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ”代ｐ，以合取式“Ｎ属于无一
①见《数学原理》第１０４页，断定命题P２。
０６。
②见《数学原理》第１９页，断定命题P３。
４５。
合取式“ｐ并且ｒ”在《数学原理》中被称为“逻辑积”。
…… 91
１７。换位法证明A ９７
Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ“
代ｑ，而以命题“Ｎ不属于有些Ｘ”
代ｒ。
两次运用分离规则，我们就从这个新断定命题得到Ｆｅｓｔｉｎｏ式。
我想分析的第二个例子稍有不同。
它就是上面提到过的Ｄｉｓａｍｉｓ式的证明。
①我们要证明以下的不完全三段论：（７）如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｐ属于有些Ｒ。
这个证明基于第一格的Ｄａｒｉ式：（８）如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些Ｐ，那么Ｒ属于有些Ｐ。
而且基于Ⅰ命题换位律的两次应用，第一次应用于以下形式：（９）如果Ｐ属于有些Ｓ，则Ｓ属于有些Ｐ，而第二次应用于以下形式：（１０）如果Ｒ属于有些Ｐ，则Ｐ属于有些Ｒ。
我们以假言三段论的定律和下列断定命题作为命题逻辑的辅助命题。
下面的断定命题与（５）略有不同，但还可以叫做因子原则：（１）如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么（如果ｒ并且ｐ，则ｒ并且ｑ）。
（５）与（１）之间的差别在于：公因子ｒ不是象在（５）
之中那样在第二个位置上，而是在第一个位置上。
由于合取式是可交换的，而且“ｐ并且ｒ”与“ｒ并且ｐ”是等价的，所以这个差别不影响这个断定命题的正确性。
亚里士多德所作的证明由前提“ｐ属于有些Ｓ”
的换位开
①见第３７页注①。
…… 92
０８第三章 亚里士多德三段论系统
始。
在这个处理之后，让我们把（１）中的ｐ代之以前提“ｐ属于有些Ｓ”
，把ｑ代之以前提“Ｓ属于有些Ｐ”
，而把ｒ代之以前提“Ｒ属于所有Ｓ”。
用这个替换，我们从（１）的前件得到换位律（９）
，并且我们因而可以分离出（１）的后件，即：（１２）
如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些ｐ。
（１２）的后件与（８）的前件是等同的。
应用假言三段论定律，我们能从（１２）和（８）得到三段论：（１３）
如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｒ属于有些Ｐ。
但这个三段论不是所要求的Ｄｉｓａｍｉｓ式，而是Ｄａｔｉｓｉ式。
当然，Ｄｉｓａｍｉｓ式能够从Ｄａｔｉｓｉ式根据断定命题（１０）把它的后件换位而导出，亦即应用假言三段论于（１３）与（１０）。
然而似乎亚里士多德采取了另一个途径：他并不用导出Ｄａｔｉｓｉ式并转换它的结论的办法，而是把Ｄａｒｉ式的结论换位，从而得到三段论：（１４）
如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些Ｐ，那么Ｐ属于有些Ｒ。
并且随后他直观地应用假言三段论定律于（１２）与（１４）。
三段论（１４）是一个第四格的式，叫做Ｄｉｍａｒｉｓ。
如我们已经知道的，亚里士多德在《前分析篇》第二卷开头的地方提到这个式。
以同样的办法我们可以分析所有其它的用换位法的证明。
由此分析可见：如果我们在第一格的完全的三段论和换位定律之上，加上三条命题逻辑的定律，即假言三段论定律和
…… 93
１８。归谬法证明A １８
两个因子定律，我们就得到了除Ｂａｒｏｃｏ与Ｂｏｃａｒｄｏ之外的、所有的不完全三段论的严格地形式化的证明。
这除外的两个式需要命题逻辑的另外的断定命题。
１８。归谬法证明AＢａｒｏｃｏ式与Ｂｏｃａｒｄｏ式用换位法不能化归为第一格。
Ａ前提换位会产生Ⅰ前提，由它与Ｏ前提一起不能得出什么东西，而Ｏ前提又不能换位。
亚里士多德企图用归谬法（ｒｅｄｕｃCｔｉｏａｄｉｍｐｏｓｉｂｉｌｅ，α‘παγωγηV
∈ｓDα‘δDα）
来证明H J F H J F这两个式。
对Ｂａｒｏｃｏ的证明这样说道：“如果Ｍ属于所有Ｎ，但不属于有些Ｘ，则Ｎ应不属于有些Ｘ，就是必然的了；因为如果Ｎ属于所有Ｘ，而Ｍ也表述所有Ｎ，Ｍ必属于所有Ｘ；但已假定Ｍ不属于有些Ｘ”。
①这个证明是太简洁了而且需要解释，通常是用以下方式解释：②
我们要证的三段论：（１）如果Ｍ属于所有Ｎ并且Ｍ不属于有些Ｘ，则Ｎ不属于有些Ｘ。
已经承认前提“Ｍ属于所有Ｎ”以及“Ｍ不属于有些Ｘ”都真；则结论“Ｎ不属于有些Ｘ”必须也是真的。
因为如果它是假的，它的矛盾命题“Ｎ属于所有Ｘ”就会是真的。
这最后一个命题就是我们逆推的起点。
因为已经承认前提“Ｍ属于所有Ｎ”是真的，我们从这个前提与命题“Ｎ属于所有Ｘ”
（用
①《前分析篇》ｉ。
５，２７ａ３７②例如，参见迈尔《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉａ，第８４页。
…… 94
２８第三章 亚里士多德三段论系统
Ｂａｒｂａｒａ式）得到结论“Ｍ属于所有Ｘ”。
但这个结论是假的，因为已经承认了它的矛盾命题“Ｍ不属于有些Ｘ”
是真的，所以我们逆推的起点“Ｎ属于所有Ｘ”
导致了一个假的结论，从而它必是假的，而它的矛盾命题，“Ｎ不属于有些Ｘ”必是真的。
这个论证只有表面的说服性；事实上它并没有证明上面的三段论。
它仅能应用于传统的Ｂａｒｏｃｏ式（我以这个式通常带有动词“是”的形式来引述它，而不用亚里士多德式的带有“属于”字样的形式）
：（２） 所有Ｎ是Ｍ，有些Ｘ不是Ｍ，所以有些Ｘ不是Ｎ。
这是一条推论规则，假定前提都真的话，那也就允许我们断定这个结论。
它并不说明当前提都假时，会发生什么事情。
这是与一条推论规则无关的，因为，显然，一个基于假前提的推论不能是正确的。
但亚里士多德式三段论都不是推论规则，它们都是命题。
三段论（１）是一个蕴涵式，它对于变项Ｍ，Ｎ和Ｘ的所有的值都是真的，而不仅是对于那些能确证这些前提的值才是真的。
如果我们将此Ｂａｒｏｃｏ式应用于词项Ｍ＝鸟，Ｎ＝动物，与Ｘ＝猫头鹰时，我们得到一个真的三段论（我用带“是”字的形式，如亚里士多德在例子中所作的那样）
：（３） 如果所有动物都是鸟并且有些猫头鹰不是鸟，
…… 95
１８。归谬法证明A ３８
那么有些猫头鹰不是动物。
这是一个Ｂａｒｏｃｏ式的例子，因为它用替换而由该式得出。
但上面的论证不能应用于这个三段论。
我们不能承认这些前提都是真的，因为命题“所有动物是鸟”和“有些猫头鹰不是鸟”
确实是假的。
我们不需要假定结论是假的；不论我们假定它的虚假性与否，它总是假的。
但主要之点在于；结论的矛盾命题，亦即命题“所有猫头鹰是动物”与第一个前提“所有动物都是鸟”在一起产生出的结论不是假的，而是真的：“所有猫头鹰都是鸟”。
“归谬”在这个情况下是不可能的。
亚里士多德所提出的证明既不是充分的，也不是一个归谬的证明。
亚里士多德用与直接的或显示的证明相对比的办法，来描述间接的证明�
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