亚里士多德的三段论- 第25节

　　　　我用１，表示这个规则_的头一条，用２表示第二条。

　　　　_从以上全称量词的原始规则，得到两条导出规则：第一，（从规则２及简化定律）

　　　　一个真表达式，在约束出现于其中的_自由变项时，允许把全称量词置于它的前面；第二，（从规则１及命题的同一律）

　　　　，允许消掉位于真表达式之前的全称X

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　　　　４２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

　　　　量词。

　　　　这些规则怎样可以导出，我将用Ⅰ前提的换位律为例来加以说明。

　　　　从换位律：（９）ＣＩａｂＩｂａ就得到量化了的表达式（２６）ａｂＣＩａｂＩｂａ‘而从量化了的表达式（２６）又得到非量化的换位律（９）。

　　　　首先，从（９）到（２６）

　　　　Ｔ１０。

　　　　ＣｐＣｑｐ（简化定律）

　　　　Ｔ１０。

　　　　ｐＣＩａｂＩｂａ×Ｃ（９）—（２３）

　　　　＇（２３）ＣｑＣＩａｂＩｂａ应用规则２于这个断定命题以约束ｂ并随后约束ａ，因为ｂ_与ａ都不在前件中出现：（２３）２ｂ×（２４）

　　　　‘（２４）ＣｑｂＣＩａｂＩｂａ‘（２４）２ａ×（２５）

　　　　‘（２５）ＣｑａｂＣＩａｂＩｂａ‘（２５）ｑＣｐＣｑ×ＣＴ１０－（２６）

　　　　＇（２６）ａｂＣＩａｂＩｂａ‘其次：从（２６）到（９）。

　　　　Ｔ５Ｃｐｐ（同一律）

　　　　Ｔ５。

　　　　ｐＣＩａｂＩｂａ×（２７）

　　　　＇（２７）ＣＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ我们应用规则１于这个断定命题以约束ｂ并随后约束ａ：_（２７）１ｂ×（２８）

　　　　‘

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　　　　２５。三段论系统的基本要素A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５２１

　　　　（２８）ＣｂＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ‘（２８）１ａ×（２９）

　　　　‘（２９）ＣａｂＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ‘（２９）×Ｃ（２６）—（９）

　　　　（９）ＣＩａｂＩｂａ亚里士多德断定：“如果有些ａ是ｂ，那么，有些ｂ应是ａ就是必然的”

　　　　，依我看，“就是必然的”这表达词只能有这个意思：要找到变项ａ和ｂ的那样的值，它会确证前件而不能确证后件，那是不可能的。

　　　　换句话说，那就是指“对于所有ａ与所有ｂ而言，如果有些ａ是ｂ，则有些ｂ是ａ。”这就是我们的量化的断定命题（２６）。

　　　　这个断定命题与非量化的换位律“如果有些ａ是ｂ，则有些ｂ是ａ”

　　　　（它不包含必然性的记号）

　　　　是等值的，这是已经证明了的。

　　　　由于三段论的必然性是与全称量词等价的，所以它可以被省略，因为一个全称量词在真公式之前是可以省略的。

　　　　２５。三段论系统的基本要素A每一个公理化的演绎系统都以三项基本要素为基础：原始词项，公理，和推论规则。

　　　　我从对断定的表达式而言的基本要素开始，对排斥的表达式而言的基本要素将于以后给出。

　　　　我取常项Ａ和Ｉ为原始词项，用它们来定义其它两个常项Ｅ和Ｏ：

　　　　Ｄｆ１

　　　　Ｅａｂ＝ＮＩａｂ

　　　　ｆ２

　　　　Ｏａｂ＝ＮＡａｂ。

　　　　为了把证明缩短我将使用下面的两条推论规则来代替上述定

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　　　　６２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

　　　　义：规则ＲＥ：ＮＩ在任何地方均可用Ｅ去替换，反之亦然。

　　　　规则ＲＯ：ＮＡ在任何地方均可用Ｏ去替换，反之亦然。

　　　　当作公理来断定的这个系统的四条断定命题就是两条同一律和Ｂａｒｂａｒａ式及Ｄａｔｉｓｉ式：１。

　　　　Ａａ２。

　　　　Ｉａ３。

　　　　ＣＫＡｂｃＡａｂＡａｃ（Ｂａｒｂａｒａ）

　　　　４。

　　　　ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ（Ｄａｔｉｓｉ）。

　　　　除了规则ＲＥ与ＲＯ之外，我采用以下两条对于断定的表达式的推论规则：（ａ）代入规则：如果ａ是这一系统的一个断定的表达式，那么，用正确的代入从α得出的任何表达式也是一个断定的表达式。

　　　　唯一正确的代入是对词项变项ａ，ｂ，ｃ，代以其它的词项变项，如以ｂ代ａ。

　　　　（ｂ）分离规则：如果Ｃαβ与α都是这系统的断定的表达式，那么β也是断定的表达式。

　　　　我采取带有被定义的函子Ｋ的演绎理论的Ｃ—Ｎ系统，作为辅助理论。

　　　　命题变项可以代之以三段论的命题表达式，如Ａａｂ，Ｉａｃ，ＫＥｂｃＡａｂ，等等。

　　　　在所有以后的证明中（并且也对排斥的表达式）我将只用下面十四条用罗马数字指明的断定命题：Ⅰ。

　　　　ＣｐＣｑｐ（简化定律）

　　　　Ⅱ。

　　　　ＣｑｒＣｐｑＣｐｒ（假言三段论定律、第二个形式）

　　　　Ⅲ。

　　　　ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ（分配律）

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　　　　２５。三段论系统的基本要素A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７２１

　　　　Ⅳ。

　　　　ＣｐＣＮｐｑ（邓斯司各脱定律）

　　　　WⅤ。

　　　　ＣＮｐｐ（克拉维乌斯定律）

　　　　Ⅵ。

　　　　ＣｐｑＣＮｑＮｐ（易位律）

　　　　Ⅶ。

　　　　ＣＫｐｑｒＣｐＣｑｒ（输出律）。电子书

　　　　Ⅷ。

　　　　ＣｐＣＫｐｑｒＣｑｒⅨ。

　　　　ＣｓｐＣＫｐｑｒＣＫｓｑｒⅩ。

　　　　ＣＫｐｑｒＣｓｑＣＫｐｓｒⅪ。

　　　　ＣｒｓＣＫｐｑｒＣＫｑｐｓＸＩ。

　　　　ＣＫｐｑｒＣＫｐＮｒＮｑＸＩ。

　　　　ＣＫｐｑｒＣＫＮｒｑＮｐＸＩＶ。

　　　　ＣＫｐＮｑＮｒＣＫｐｒｑ断定命题Ⅷ是输出律的一个形式，断定命题Ⅸ—Ⅺ都是复合的假言三段论定律，而Ⅻ—是复杂的易位律。

　　　　所有这些，用第２３节所说的０—１方法，都是易于验证的。

　　　　断定命题Ⅳ、Ⅴ与Ⅱ、Ⅲ一起给出全部Ｃ—Ｎ系统，但Ⅳ、Ⅴ只是对排斥的表达式的证明才是需要的。

　　　　公理１—４的系统是一致的，也就是说是无矛盾的。

　　　　无矛盾性的最容易的证明是把词项变项当作命题变项，以及把函项Ａ和Ｉ定义为常真（即令Ａａｂ＝Ｉａｂ＝ＫＣａＣｂ）

　　　　而作出的。

　　　　于是公理１—４作为演绎理论的断定命题都是真的，而且已知这演绎理论是无矛盾的，所以三段论系统也是无矛盾的。

　　　　我们系统的所有公理都是彼此独立的。

　　　　这一点的证明可以用演绎理论范围内的解释来作出。

　　　　在后面的解释中，词项变项作为命题变项处理。

　　　　公理１的独立性：取Ｋ代替Ａ，取Ｃ代替Ｉ，公理１就不

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　　　　８２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

　　　　能确证了，因为Ａａ＝Ｋａ，而Ｋａａ在ａ０时，得出０。

　　　　如同用＇０—１方法所能看出的那样，其它公理均可确证。

　　　　公理２的独立性：取Ｃ代替Ａ，与Ｋ代替Ｉ，公理２就不能确证了，因为Ｉａ＝Ｋａ。

　　　　其它公理均可确证。

　　　　公理４的独立性：取Ｃ代替Ａ与Ｉ，公理４就不能确证了，因为ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ＝ＣＫＣｂｃＣｂａＣａｃ在ｂ０，ａ１，ｃ０时，它＇　　　　　　　　＇　　　　　　　　＇得出０其它均可确证。

　　　　公理３的独立性：在只有０与１二值的演绎理论的基础上证明这条公理的独立性是不可能的。

　　　　我们必须引入第三个真值，令其为２，它可看作是代表真，亦即１的另一个符号。

　　　　对于第２３节所作出的Ｃ，Ｎ和Ｋ的诸等值式，我们还要加上下面这些公式：Ｃ０２＝Ｃ１２＝Ｃ２１＝Ｃ２＝１。

　　　　Ｃ２０＝０，Ｎ２＝０，Ｋ０２＝Ｋ２０＝０，Ｋ１２＝Ｋ２１＝Ｋ２＝１。

　　　　在这些条件下，所有Ｃ—Ｎ系统的断定命题都可确证，这能很容易地表明。

　　　　让我们现在把Ｉａｂ定义为常真的函项，亦即对于ａ与ｂ的所有的值而言，Ｉａｂ＝１，而把Ａａｂ定义为具有以下诸值的函项：Ａａ＝１，Ａ０１＝Ａ１２＝１，以及Ａ０２＝０（其余均无关）。

　　　　公理１，２与４都可确证，但从公理３用代入ｂ１，ｃ２，ａ０我们得＇到：ＣＫＡ１２Ａ０１Ａ０２＝ＣＫ１０＝Ｃ１０＝０。

　　　　用在自然数域的解释来作独立性的证明也是可能的。

　　　　例如，我们要证明公理３独立于其余公理，我们能够把Ａａｂ定义为ａ＋１ｂ，而把Ｉａｂ定义为ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，Ｉａｂ是常真的，因而，

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　　　　２６。三段论的断定命题的推导A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９２１

　　　　公理２与４确证了，公理１也确证了，因为ａ＋１总是不同于ａ的。

　　　　但公理３，即“如果ｂ＋１ｃ并且ａ＋１ｂ，则ａ＋１Ｃ”

　　　　a就不能确证。

　　　　取３替ａ，２替ｂ，以及４替ｃ，则前提将会是真的，而结论是假的。

　　　　从以上的独立性证明得出：没有三段论的单个的公理或“原则”。

　　　　１—４这四条公理可以机械地用“并且”

　　　　这个字联结成为一个命题，但是它们在这个没有有机联系的合取式中，仍然保留着差别而并不代表一个单个的观念。

　　　　２６。三段论的断定命题的推导A用我们的推论规则以及借助于演绎理论从公理１—４我们能够引出亚里士多德逻辑的所有断定命题。

　　　　我希望在作了前面几节的解释之后，以后的证明就会是完全可以理解的。

　　　　在所有三段论的式中，大项用ｃ表示，中项用ｂ表示，小项用ａ表示。

　　　　大前提首先陈述，以便易于将公式与各式的传统名称相比较①。

　　　　Ａ。换位定律Ⅶ。

　　　　ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ４—５＇　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＇　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＇５。

　　　　ＣＡｂｃＣＩｂａＩａｃ５。

　　　　ｂａ，ｃａ，ａｂ×Ｃ１—６＇①在１９２９年出版的我的波兰文教科书《数理逻辑初步》（Ｅｌｅｍｅｎｔｓ

　　　　ｏｆ

　　　　ｍａｔｈｅ－ｍａｔｉｃａｌｏｇｉｃ）

　　　　（见第６２页，注①）中，我第一次表明已知的三段论的断定命题怎样可以从公理１—４形式地推出（第１８０—１９０页）。

　　　　在上述教科书中说明的方法，由Ｉ。

　　　　Ｍ。

　　　　波亨斯基教授在他的论文“论直言三段论”

　　　　中稍作修改后加以采纳。

　　　　见《多明尼卡研究》（Ｄｏｍｉｎｉｃａｎ

　　　　ｓｔｕｄｉｅｓ）卷ｉ，牛津１９４８年版。

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　　　　０３１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

　　　　６。

　　　　ＣＩａｂＩｂａ（Ｉ前提的换位律）

　　　　Ⅲ。

　　　　ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ５７＇　C７。

　　　　ＣＩｂａＣＡｂｃＩａｃ７。

　　　　ｂａ，ｃｂ×Ｃ２—８＇８。

　　　　ＣＡａｂＩａｂ（肯定前提的从属律）

　　　　Ⅱ。

　　　　ｑＩａｂ，ｒＩｂａ×Ｃ６—９＇